データサイエンスや機械学習では、ベクトルだけでなく 行列（マトリックス） を扱う場面が数多く登場します。
行列は、複数のベクトルをまとめて表現し、効率的に計算を行うための重要な道具です。
本記事では、
- 行列とは何か
- 行列のサイズ（行・列）
- 行列とベクトルの関係
- 行列の基本的な演算
について、順を追って解説します。
目次
1. 行列とは何か
行列の定義
数を方形（四角形）に並べたものを 行列（マトリックス） といいます。
行列では、
- 横の並び → 行（row）
- 縦の並び → 列（column）
と呼びます。
例えば、次のように数値を並べたものが行列です。
1 2 3
4 5 6
この行列は、
- 行が2つ
- 列が3つ
ある行列です。
行列のサイズ（m×n 行列）
行が m 個、列が n 個 の行列を
- m 行 n 列の行列
- m×n 行列
と呼びます。
この行列を A とすると、
「m×n 行列 A」のように表します。
正方行列
行数と列数が等しい行列、つまり
- m = n
となる行列を 正方行列 と呼びます。
例：
- 2×2 行列
- 3×3 行列
正方行列は、後述する「単位行列」など、特別な性質を持つ行列を定義する際に重要です。
2. 行列とベクトルの関係
DS1で学んだ n 次元ベクトル は、行列として次のように考えることができます。
- n×1 行列（列ベクトル）
- 1×n 行列（行ベクトル）
つまり、ベクトルは行列の特別な場合と考えることができます。
この視点を持つことで、
「ベクトルの計算」と「行列の計算」を統一的に理解できるようになります。
要素（成分）
行列を構成するそれぞれの数値を 要素（成分） と呼びます。
行列 A の
- i 行 j 列目の要素
を aᵢⱼ のように表します。
3. 行列にスカラーを掛ける（スカラー倍）
行列にもベクトルと同様に スカラー倍 を行うことができます。
定義
行列 A をスカラー k 倍した行列を
- kA
と表します。
計算方法は非常にシンプルで、
行列のすべての要素に k を掛ける
だけです。
例
A =
1 2
3 4に対して、
2A =
2 4
6 8
となります。
4. 2つの行列の和と差
計算できる条件
m×n 行列 A と B の 和 A + B、差 A − B は、
- A と B の 行数が同じ
- A と B の 列数が同じ
場合にのみ定義されます。
行数または列数が異なる場合、
行列の和や差を計算することはできません。
計算方法
行列の和・差は、
対応する要素どうしを足す（または引く）
ことで計算します。
例
A =
1 2
3 4
B =
5 6
7 8
の場合、
A + B =
6 8
10 12
となります。
5. 2つの行列の積
行列の積は、和や差とは異なり、サイズに条件があります。
行列の積が定義される条件
m×n 行列 A と p×q 行列 B の積 AB は、
- n = p
のときにのみ定義されます。
結果として得られる行列 C = AB は、
- m×q 行列
になります。
要素の計算方法（内積）
積 C = AB の i 行 j 列の要素 cᵢⱼ は、
A の i 行目
と
B の j 列目
の 内積 として計算されます。
2×2 行列の例
A =
a b
c d
B =
e f
g h
とすると、
AB =
ae + bg af + bh
ce + dg cf + dh
となります。
このように、行列の積は「行 × 列」の組み合わせで計算されます。
6. 特別な行列
ゼロ行列
すべての要素が 0 の行列を ゼロ行列 と呼び、
- O
で表します。
ゼロ行列は、行列の加法において「0」の役割を果たします。
単位行列
対角要素がすべて 1、それ以外の要素が 0 の正方行列を
単位行列 と呼びます。
- I（または E）で表されます。
例（2×2）：
I =
1 0
0 1
単位行列は、行列の積において「1」と同じ役割を持ちます。
7. データサイエンスにおける行列の重要性
行列は、データサイエンスのあらゆる場面で登場します。
- データセット（サンプル × 特徴量）
- 回帰分析や分類モデル
- ニューラルネットワークの重み
- 次元削減や線形変換
これらはすべて、行列として表現・計算されています。
まとめ
- 数を方形に並べたものが 行列
- 行と列の数で m×n 行列 を定義する
- ベクトルは行列の特別な場合
- 行列では スカラー倍・和・差・積 が定義される
- ゼロ行列と単位行列は特に重要
行列を理解することは、
統計学・機械学習・ディープラーニングへの入口になります。
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