データ分析や機械学習では、
「ある情報を知ったあとで、確率をどう更新するか」
という考え方が非常に重要になります。
その中心となるのが ベイズの定理 です。
目次
1. 条件付き確率の復習
まず、条件付き確率を確認します。
事象 A が起こったという条件の下で、事象 B が起こる確率 は、P(B∣A)=P(A)P(A∩B)
で定義されます。
これは、
「A が起こった世界だけを考えたとき、B がどれくらいの割合で起こるか」
を意味しています。
2. ベイズの定理とは何か
上記の条件付き確率の式を変形すると、次の関係が得られます。P(B∣A)=P(A)P(A∣B)P(B)
これを ベイズの定理 といいます。
3. 事前確率と事後確率
ベイズの定理では、確率を次のように解釈します。
- 事前確率
- P(B)
- 何も情報がない段階での確率
- 事後確率
- P(B∣A)
- A が起こったという情報を得た後の確率
つまり、ベイズの定理とは、
新しい情報を得ることで、確率をどのように更新するか
を表した式です。
4. ベイズの定理の別表現
分母の P(A) は、
A が起こる全体確率（周辺確率）であり、次のように分解できます。P(A)=P(A∣B)P(B)+P(A∣Bc)P(Bc)
これを用いると、ベイズの定理は次の形でも表せます。P(B∣A)=P(A∣B)P(B)+P(A∣Bc)P(Bc)P(A∣B)P(B)
この形は 実務・試験の両方で非常によく使われます。
5. 迷惑メールの例で考える
ここからは、ベイズの定理を
迷惑メール判定 の例で具体的に見ていきます。
事象の定義
次の事象を定義します。
- A：メールに「お得」という文字が書かれている
- Aᶜ：メールに「お得」という文字が書かれていない
- B：迷惑メールである
- Bᶜ：迷惑メールでない
与えられている確率
- すべてのメールにおいて
- 迷惑メールである確率 P(B)
- 迷惑メールでない確率 P(Bc)
- 条件付き確率
- 迷惑メールに「お得」と書かれている確率 P(A∣B)
- 迷惑メールではないが「お得」と書かれている確率 P(A∣Bc)
6. 求めたい確率（事後確率）
求めたいのは、
「お得」と書かれているという条件の下で、
そのメールが迷惑メールである確率
すなわち、P(B∣A)
です。
7. ベイズの定理による計算
ベイズの定理を用いると、P(B∣A)=P(A∣B)P(B)+P(A∣Bc)P(Bc)P(A∣B)P(B)
となります。
この式から分かる重要なポイントは、
- 「お得」という単語が
- 迷惑メールにどれくらい含まれるか
- 通常メールにもどれくらい含まれるか
- そもそも迷惑メールが全体にどれくらいあるか
という 3つの情報すべてが影響する という点です。
8. ベイズの定理の直感的な意味
この例から分かるように、ベイズの定理は
- 単に
「迷惑メールに『お得』が多い」 - という情報だけではなく
全体に占める迷惑メールの割合（事前確率）を加味して判断する
ための枠組みです。
そのため、
- 条件付き確率
- 周辺確率
- 事前・事後確率
を混同しないことが極めて重要です。
まとめ
- ベイズの定理は条件付き確率の変形
- 事前確率：情報を得る前の確率
- 事後確率：情報を得た後の確率
- 新しい情報により確率を更新する考え方
- 迷惑メール判定などの実務に直結する
ベイズの定理は、
統計・機械学習・AI の根幹をなす考え方
であり、
データサイエンティスト検定™ リテラシーレベルでも確実に押さえておくべき重要テーマです。
