生存関数とは？　時間データ分析の基礎

はじめに

生存分析は医学、工学、経済学など多岐にわたる分野で用いられる強力な統計手法です。この記事では、特に「生存関数」と呼ばれる重要な概念に焦点を当て、その基本と応用について解説します。

生存関数、または生存確率関数は、統計学において特定の時間までにイベント（例えば、機械の故障や患者の死亡）が発生しない確率を表します。

この関数は、時間とともにどのように確率が変化するかを示し、生存分析の基本的なツールとなります。

生存関数 S(t)は、通常
S(t)=1−F(t)
で表されます。

ここで F(t) は累積分布関数で、時間 t までにイベントが発生する確率を示します。

また、生存関数は

としても表されることがあり、ここで T は生存時間の確率変数、t>0 は生存時間の実現値、f は生存時間の確率密度関数を表します。

例として、ある新薬が患者の生存期間に与える影響を分析する場合を考えます。

治療群と対照群での生存関数をプロットし、これらの生存曲線を比較することで新薬の効果を評価します。具体的には、各群の患者のフォローアップデータから生存関数を推定し、グラフにして視覚的に比較します。このような分析により、新薬の治療効果が統計的に有意であるかどうかを判断することができます。

生存関数の実際の計算例を示します。
がん治療の効果を評価するために、患者の生存データを分析する場面を想定します。100人の患者が新しい治療法を受け、フォローアップ期間中に30人が死亡しました。時間 t はフォローアップの期間（例えば月単位）です。

生存関数 S(t) を計算するために、各時間点での生存確率を積み重ねて全体の生存関数を推定します。

具体的な計算ステップは以下の通りです：

時間を昇順に並べ、各時間点での死亡数と生存数を記録します。
各時間点での生存確率を生存している患者数−死亡数生存している患者数\frac{生存している患者数 – 死亡数}{生存している患者数}生存している患者数生存している患者数−死亡数で計算します。
各時間点での生存確率を前の時間点までの生存確率と乗算し、累積生存確率を求めます。