標準偏差は、データのばらつきを示す重要な指標です。平均値だけでは分からない「データの広がり」を把握するために使われ、統計学やデータ分析の基本となります。本記事では、標準偏差の定義や計算方法、実際の活用例について解説します。
標準偏差とは？
標準偏差（英: Standard Deviation）とは、データが平均値からどれくらい離れているかを示す指標です。具体的には、データの分布がどの程度広がっているかを数値で表します。
- 標準偏差が小さい場合：データが平均値付近に集中している。
- 標準偏差が大きい場合：データが平均値から大きく離れている。
標準偏差の計算方法
標準偏差は、次の手順で計算されます。
1. データの平均を求める
データセット {x1,x2,…,xn}の平均 xˉ を計算します。
2. 各データの偏差を求める
各データ xi と平均 xˉ の差（偏差）を計算します：
3. 偏差の二乗を計算して平均を取る
偏差を二乗し、それらの平均を取ります。これが「分散（Variance）」です。
4. 分散の平方根を取る
最後に、分散の平方根を取ると標準偏差が求められます。
標本標準偏差と母集団標準偏差の違い
母集団標準偏差
データ全体（母集団）を対象にした標準偏差。分母に n を使用します。
標本標準偏差
母集団の一部（標本）を用いる場合、分散を計算する際の分母に n−1 を使用します。
これは「不偏分散」を基に計算され、母集団の分散をより正確に推定できます。
標準偏差の具体例
例1: テストの点数
2つのクラスでのテスト結果を考えます。
- クラスA: 50, 50, 50, 50, 50（平均: 50）
- クラスB: 30, 40, 50, 60, 70（平均: 50）
どちらも平均点は50ですが、クラスAの標準偏差は0（全員が同じ点数）、クラスBの標準偏差は20（点数のばらつきが大きい）です。
標準偏差を見ることで、点数の分布の違いを明確に把握できます。
標準偏差の応用例
- 金融
株価のリスク分析で、価格変動の大きさを測る指標として使用されます。 - 品質管理
製品のばらつきを評価するため、標準偏差を用いて生産ラインの安定性を確認します。 - 機械学習
特徴量のスケーリング（標準化）において、標準偏差を使ってデータを均一化します。
標準偏差と関連する指標
- 分散: 標準偏差の二乗で、データのばらつきを表しますが、単位がデータのスケールに依存します。
- 変動係数（CV）: 標準偏差を平均値で割った値で、単位が異なるデータのばらつきを比較する際に使います。
まとめ
標準偏差は、データのばらつきを表す重要な指標です。平均値だけでは捉えられない「データの広がり」を把握するのに役立ち、さまざまな分野で応用されています。統計を深く理解するための第一歩として、ぜひ標準偏差の計算や解釈に慣れてみてください！
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