Wilcoxon-Mann-Whitney検定についてわかりやすく解説

マンホイットニーのU検定では『比較するデータに差があると言えるのか？』という問いに答えてくれます。

本記事では、検定の手法から例題までを解説しています。

WMW検定の目的

2つの母集団を想定します。それぞれ母集団Aと母集団Bと名付けておきます。

母集団Aは「何らかの確率分布に従っている」と仮定し、母集団BもAと同じ形状をした何らかの確率分布に従っていると仮定します。

WMW検定ではそれぞれの母集団A、Bから標本を単純無作為に抽出し、それぞれの標本を比較したのち「A,Bの母集団は同じ確率分布に従うか、異なっているか」を判断することが当検定の目的となります。

また、比較時に統計検定量（U）をもって検定を行っていきます。

WMW検定の手順

帰無仮説と対立仮設を立てます。

　帰無仮説＝比べるものが等しい
　対立仮設＝比べるものが等しくない

Step1.標本サイズと順位和を計算する

それぞれのデータを見て標本サイズを下記のように記載しておきます。

n_A=〇　n_B=△

順位和

A、Bのそれぞれのデータの順位を求め全て足し上げる。

Step2.統計検定量（U）を計算する

Aのグループの統計検定量をU₁、BをU_２としたとき

U₁ = n_A・n_B＋1/2・n_A・(n_A＋1) – R_A

U₂ = n_A・n_B＋1/2・n_B・(n_B＋1) – R_B

と求めて、より小さい値をUとする

Step3.計算して得たUと臨界値U_0.05を比較する

Step2で得たUと、臨界値U_0.05を比較します。

臨界値U_0.05とは下記の図で得られる値のことで、例えばデータ数がAが4つ、Bが4つの場合は下記のグラフで指し示すとU_0.05=0になります。

上の表で得た臨界値U_0.05とStep2で得たUを比較し

U < U_0.05　の場合は「統計的に優位な差が認められた」

U > U_0.05　の場合は統計的に優位な差は認められなかった」

結論付けます。

例題

ある学校において男女それぞれ6人の身長に関するデータを得ました。

この男女それぞれの身長のデータに差があると言えるのか、検定を行っていきます。

・Step1.標本サイズと順位和を計算する

https://www.gen-info.osaka-u.ac.jp/MEPHAS/wilc1.html

こちらのサイト使うと計算が楽なので活用していきます。

標本サイズはそれぞれ6人ずつなので、

n_A=6　n_B=6　となり、サンプルサイズに入力します。

そしてそれぞれのサンプルデータを入力します。

すると結果は下記のようになります。

実は添付画像の下に答えが出てしまっているのですが、

一旦はstep通りに例題を解いていきます。

・Step2.統計検定量（U）を計算する

出てきた数字を整理します。

n_A=6　n_B=6

R_A=11+7+5+12+8+10=53

R_B=1+6+2+3+9+4=25

これらを下の数式に代入します。

U₁ = n_A・n_B＋1/2・n_A・(n_A＋1) – R_A

U₂ = n_A・n_B＋1/2・n_B・(n_B＋1) – R_B

すると、

U₁ = n_A・n_B＋1/2・n_A・(n_A＋1) – R_A=4

U₂ = n_A・n_B＋1/2・n_B・(n_B＋1) – R_B=32

となり、より小さいほうをUとして採用するので、U=4となります。

Step3.計算して得たUと臨界値U_0.05を比較する

Step2で得たUと、臨界値U_0.05を比較します。

n_A=6　n_B=6のため、今回の臨界値U_0.05は5となります。

Step2で得たように、U=4なので

U < U_0.05　となり「統計的に優位な差が認められた」が結論になります。

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