統計学では、「どんな確率で特定の事象が起こるか」を分析することが重要です。その中でも多項分布は、複数のカテゴリに分類されるデータを扱うときに役立つ確率分布です。この記事では、多項分布の基本から、実際にどう使われるかをわかりやすく解説します！
多項分布とは？
多項分布は、次のような状況で使われる確率分布です。
- 1回の試行で複数の結果が出る可能性がある（例：サイコロの目）。
- 試行が独立して繰り返される（例：複数回のサイコロ振り）。
- 各結果がそれぞれの確率を持つ（例：サイコロの目が均等に出る場合、各目の確率は 1/6
具体例：サイコロの出目
6面のサイコロを10回振ったとしましょう。出た目（1～6）の個数を知りたい場合、多項分布を用いることで確率を計算できます。
このとき、次の条件が成り立ちます：
- 試行回数：n=10
- 結果のカテゴリ数：6（1～6の目）
- 各カテゴリが出る確率：p1=p2=⋯=p6=1/6
数式で見る多項分布
多項分布は、以下の数式で表されます：
記号の意味
- n：試行回数（例：10回サイコロを振る）
- k：カテゴリ数（例：サイコロの6面）
- xi：カテゴリ i の発生回数（例：1の目が出た回数）
- pi：カテゴリ i が発生する確率（例：サイコロの1が出る確率 1/6）
多項分布の特徴
1. カテゴリの発生回数の合計は一定
多項分布では、すべてのカテゴリの発生回数を合計すると試行回数に一致します：
2. 各カテゴリの確率は固定
試行が独立しているため、1回の試行でカテゴリ iii が発生する確率 pi は一定です。
実際の活用例
多項分布は、以下のような場面で応用されています。
1. アンケート分析
例えば、5つの選択肢から1つを選ぶアンケートを100人に実施した場合、各選択肢の回答数が多項分布に従うと仮定して分析できます。
2. 製品の検査
工場で生産される製品が「良品」「欠陥品」「破損品」の3カテゴリに分類される場合、一定数の検査結果から全体の品質状況を推定できます。
Pythonで多項分布をシミュレーション
Pythonを使うと、多項分布のシミュレーションを簡単に実行できます。例えば、サイコロを10回振るシミュレーションをしてみましょう。
import numpy as np
# サイコロを10回振る
n = 10 # 試行回数
p = [1/6] * 6 # 各目の確率
result = np.random.multinomial(n, p)
print("サイコロの出目の回数:", result)
まとめ
多項分布は、複数の結果がある場合にそれぞれの発生確率を扱う便利なツールです。アンケートや製品検査など、日常的なデータ分析にも応用されています。次に確率を扱う際は、多項分布を活用してみてください！
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