統計学でデータを扱う際、サンプル（標本）から母集団の特徴を推定する手法が重要です。
その中で「点推定」と「区間推定」は特に基本的かつ重要な概念です。
この記事では、それぞれの定義や特徴、95%信頼区間の計算方法について詳しく解説します。
目次
点推定とは？
点推定とは、母集団のあるパラメータ（例えば平均や分散）を1つの値で推測する方法です。
特徴：
- 推定値が1つに確定する
- 計算が簡単で直感的
例：
あるクラスの生徒30人のテスト得点（サンプルデータ）を基に、全校生徒の平均点を推定したい場合：
- サンプルの平均点（例えば70点）が、母集団の平均点の点推定値となります。
区間推定とは？
区間推定とは、母集団のパラメータがある範囲内に含まれる可能性を示す推定方法です。
特徴：
- 範囲（信頼区間）で推定する
- 推定の精度や信頼性がわかる
区間推定では、信頼度（例えば95%信頼区間）を設定し、推定値がこの範囲内にある可能性を示します。
例：
- 上記のクラスの平均点70点を基に、母集団の平均点が 68点〜72点の範囲に含まれる可能性が95% であると示すことができます。
点推定と区間推定の違い
| 項目 | 点推定 | 区間推定 |
|---|---|---|
| 推定方法 | 1つの値で推定 | 範囲で推定 |
| 精度 | 信頼度や誤差の情報が不足 | 信頼度や誤差が明確 |
| 使いやすさ | 簡単で計算が早い | 複雑で計算が必要 |
具体例で考える
例題1: コーヒーショップの平均注文金額を推定
- サンプルデータ: 10名分の注文金額（例: 400円, 450円, 500円…）
- サンプルの平均注文金額: 470円
点推定の場合:
平均注文金額の点推定値は 470円。
区間推定の場合:
標準偏差やサンプルサイズを基に、母集団平均金額の95%信頼区間が 450円〜490円 と計算される場合、母集団の平均金額がこの範囲内にあると考えられます。
例題2: 新商品の評価点の分布を推測
アンケートで、100人の評価データ（5段階評価）が得られた場合。
点推定:
平均評価点は、サンプルの平均（例: 4.2点）。
区間推定:
信頼区間を計算し、例えば 4.1点〜4.3点 の範囲に母集団の平均評価点があると推定。
区間推定における信頼区間の計算方法
信頼区間は以下の式で求めます：
95%信頼区間の計算例
問題:
標本平均が50、標準誤差が5の場合、95%信頼区間を計算してみましょう。（z値は1.96を使用）
計算手順:
公式に値を代入します。
信頼区間==50±1.96⋅5
50±9.8 ⇒ 信頼区間は 40.2〜59.8
つまり、母集団の平均が40.2〜59.8の範囲にある可能性が95%と推定されます。
信頼区間とは何か？
信頼区間は「サンプルから推定した母集団の真の平均値が、この区間に含まれる確率が高い」という範囲です。ただし、以下の点に注意してください。
- 統計的解釈: 信頼区間が「95%の確率で真の平均を含む」という意味ではなく、「このような試行を繰り返した場合、95%の信頼区間が真の値を含む」と解釈します。
- 幅が広い場合: サンプルサイズが小さい、またはデータのばらつきが大きいと、信頼区間が広がります
点推定と区間推定の使い分け
- 点推定: シンプルに1つの値で判断したい場合。
例: クラスの平均点をざっくり把握したい時。 - 区間推定: 推定値の信頼性や誤差を考慮する必要がある場合。
例: 製品の品質管理やマーケティング調査。
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